1-  Généralités :

11- Hypothèses :

-poutre cylindrique homogène de section uniforme.

-les déformations sont limités au domaine élastique.

12-Mise en évidence :

Soit la poutre OA encastrée en O et subissant un couple de forces à son extrémité A tel que F₁=F₂.

 Montrons qu’elle est sollicitée à la torsion simple.

  

d’où   ;

 la poutre est donc sollicitée à la torsion simple.

     2-Etude expérimentale :

       21-Essai de torsion :

§ le principe consiste à essayer une éprouvette cylindrique à la torsion.

§ une des extrémités de l’éprouvette est encastrée ; l’autre subit un couple

§  de force variant       progressivement.(Mt=P.d)

§ un index permet d’indiquer l’angle α dont tournent les sections extrêmes l’une/l’autre.

§ une génératrice A₀A_n,et des sections equidistantesS₀,…….S_n permettent de voir comment se déforme une   fibre//A₀A_n

      22-Diagramme représentatif:

       23-Observations:

8 la génératrice A₀A_n s’enroule suivant une héliceA₀A_n.Il est de même pour toutes les génératrices//A₀A_n.

Une seule fibre reste rectiligne (fibre indéformable).C’est celle qui est confondue avec l’axe géométrique de la poutre. On l’appelle fibre neutre.

8L’angle α est proportionnel à Mt entre M et N   (Mt ≤ Mt_e ). La zone MN est dite zone élastique.

            L’éprouvette est rompue par cisaillement de la section encastrée lorsque Mt › Mt _max .

                                                                   

                              

 

8Toute section plane perpendiculaire à l’axe reste plane et perpendiculaire à l’axe.   

    3-Etude analytique:

          L’étude sera faite dans la zone élastique.

         31-Angle unitaire de torsion:

Soient deux sections S₀ et S₁ infiniment proches.

Déterminons le glissement par rotation (dα) de S₁/S₀.

On assimile m’n’ à un segment.

dα , dx, γ infiniment petits.

γ petit    ( déviation d’une fibre mn )

  est donc proportionnel à la distance x.

              est appelé angle unitaire de torsion.

             Soit :  

32-Moment de torsion :          

* dF effort élémentaire intérieur dans S_G.

33-Contrainte tangentielle de cisaillement :

Loi de Hooke :     

          

                 et    

                                   * unité : N/mm²   (1mm²  = 1MPa)

   : module d'élasticité transversale (mod.de Coulomb)

 : déviation au point M d'une fibre // à l'axe

 : contrainte en un point M de S_G

34-Répartition des contraintes dans une section :

           

  et              est proportionnelle à r.

   Pour un matériau donné ,   est constant.

 est constant le long de la poutre. 

35-Equation de déformation :

                                G, θ constants             

                    . 

                       or  

                                                           d’où :                    

36-Relation entre contrainte et M^tde torsion :

    

 d’où     

on en déduit       

        est dit module de torsion

37-Condition de résistance:

  et  

: contrainte admissible (ou résistance pratique au glissement R_pg).

: limite élastique

s : coefficient de sécurité

 38-Condition de rigidité :

Pour certains arbres longs, on limite les déformations en imposant une limite à θ.

39-Conditions réelles de torsion :

Les épaulements,entailles,…….réalisés sur l’arbre créent des concentrations de contraintes dont il faut tenir compte.  On définit alors la valeur réelle maximale de la contrainte tangentielle par:

avec k : coef. de concentration de contraintes