DYNAMIQUE DES FLUIDES INCOMPRESSIBLES

DEFINITIONS

Le débit est le quotient de la quantité de fluide qui traverse une section droite de la conduite par la durée de cet écoulement.

Débit-massique

Si Dm est la masse de fluide qui a traversé une section droite de la conduite pendant le temps Dt, par définition le débit-massique est :

unité : kg.s^-1

Débit-volumique

Si DV est le volume de fluide qui a traversé une section droite de la conduite pendant le temps Dt, par définition le débit-volumique est :

  unité : m³.s^-1.

Relation entre q_m et q_V

La masse volumique est donnée par la relation :      

d'où :    

Remarques :

Les liquides sont incompressibles et peu dilatables (masse volumique constante) ; on parle alors d'écoulements isovolumes.

Pour les gaz, la masse volumique dépend de la température et de la pression. Pour des vitesses faibles (variation de pression limitée) et pour des températures constantes on retrouve le cas d'un écoulement isovolume.

Écoulements permanents ou stationnaires

Un régime d'écoulement est dit permanent ou stationnaire si les paramètres qui le caractérisent (pression, température, vitesse, masse volumique, ...), ont une valeur constante au cours du temps.

Équation de conservation de la masse ou équation de continuité

Définitions

Ligne de courant : En régime stationnaire, on appelle ligne de courant la courbe suivant laquelle se déplace un élément de fluide. Une ligne de courant est tangente en chacun de ses points au vecteur vitesse du fluide en ce point.

Tube de courant : Ensemble de lignes de courant s'appuyant sur une courbe fermée.

Filet de courant : Tube de courant s'appuyant sur un petit élément de surface DS.

La section de base DS du tube ainsi définie est suffisamment petite pour que la vitesse du fluide soit la même en tous ses points (répartition uniforme).

Conservation du débit

Considérons un tube de courant entre deux sections S₁ et S₁. Pendant l'intervalle de temps Dt, infiniment petit, la masse Dm₁ de fluide ayant traversé la section S₁ est la même que la masse Dm₂ ayant traversé la section S₂.

               En régime stationnaire, le débit-massique est le même à travers toutes les sections droites d'un même tube de courant.

Dans le cas d'un écoulement isovolume ( = Cte) :

                En régime stationnaire, le débit-volumique est le même à travers toutes les sections droites d'un même tube de courant

Expression du débit en fonction de la vitesse v

Le débit-volume est aussi la quantité de liquide occupant un volume cylindrique de base S et de longueur égale à v, correspondant à la longueur du trajet effectué pendant l'unité de temps, par une particule de fluide traversant S.

Il en résulte la relation importante :

Vitesse moyenne

En général la vitesse v n'est pas constante sur la section S d'un tube de courant ; on dit qu'il existe un profil de vitesse (à cause des forces de frottement).

Dans une section droite S de la canalisation, on appelle vitesse moyenne v_m la vitesse telle que :   

La vitesse moyenne v_moy apparaît comme la vitesse uniforme à travers la section S qui assurerait le même débit que la répartition réelle des vitesses.

Si l'écoulement est isovolume, cette vitesse moyenne est inversement proportionnelle à l'aire de la section droite.

                C'est l'équation de continuité.

                 La vitesse moyenne est d'autant plus grande que la section est faible.

Théorème de BERNOULLI

Théorème de Bernoulli pour un écoulement permanent d’un fluide parfait incompressible

Un fluide parfait est un fluide dont l'écoulement se fait sans frottement.

On considère un écoulement permanent isovolume d’un fluide parfait, entre les sections S₁ et S₂, entre lesquelles il n’y a aucune machine hydraulique, (pas de pompe, ni de turbine).

Soit m la masse et V le volume du fluide qui passe à travers la section S₁ entre les instants t et t+Dt. Pendant ce temps la même masse et le même volume de fluide passe à travers la section S₂. Tout se passe comme si ce fluide était passé de la position (1) à la position (2).

En appliquant le théorème de l’énergie cinétique à ce fluide entre les instants t et t+Dt (la variation d’énergie cinétique est égale à la somme des travaux des forces extérieures : poids et forces pressantes), on obtient :

                                                                

p est la pression statique,

 est la pression de pesanteur,

 est la pression cinétique.

Tous les termes s’expriment en pascal.

En divisant tous les termes de la relation précédente par le produit g, on écrit tous les termes dans la dimension d'une hauteur (pressions exprimées en mètres de colonne de fluide).

H est la Hauteur totale,            est la Hauteur de Pression,  

z est la cote,    est la Hauteur cinétique,

 est la Hauteur piézomètrique.

Cas d'un écoulement (1)®(2) sans échange de travail

Lorsque, dans un écoulement d’un fluide parfait, il n'y a aucune machine (ni pompe ni turbine) entre les points (1) et (2) d'une même ligne de courant, la relation de Bernoulli peut s’écrire sous l'une ou l'autre des formes suivantes :

     

ou

 

Cas d'un écoulement (1)®(2) avec échange d’énergie

Lorsque le fluide traverse une machine hydraulique, il échange de l’énergie avec cette machine sous forme de travail DW pendant une durée Dt. La puissance P échangée est      

Unités : P en watt (W),            W en joule (J), t en seconde (s).

·         P > 0 si l’énergie est reçue par le fluide (ex. : pompe) ;

·         P< 0 si l’énergie est fournie par le fluide (ex. : turbine).

Si le débit-volume est q_v, la relation de Bernoulli s’écrit alors :

 VISCOSITE

·         Dans un fluide réel, les forces de contact ne sont pas perpendiculaires aux éléments de surface sur lesquelles elles s'exercent. La viscosité est due à ces frottements qui s'opposent au glissement des couches fluides les unes sur les autres.

·         Les phénomènes dus à la viscosité des fluides ne se produisent que lorsque ces fluides sont en mouvement.

Viscosité dynamique

Considérons deux couches de fluide contiguës distantes de Dz. La force de frottement F qui s'exerce à la surface de séparation de ces deux couches s'oppose au glissement d'une couche sur l'autre. Elle est proportionnelle à la différence de vitesse des couches soit Dv, à leur surface S et inversement proportionnelle à Dz :

Le facteur de proportionnalité est le coefficient de viscosité dynamique du fluide.

Dimension :   [] = M.L^-1.T^-1.

Unité : Dans le système international (SI), l'unité de viscosité dynamique est le Pascal seconde (Pa×s) ou Poiseuille (Pl) :

1 Pa×s = 1 Pl = 1 kg/m×s

Viscosité cinématique

Dans de nombreuses formules apparaît le rapport de la viscosité dynamique et de la masse volumique .

Ce rapport est appelé viscosité cinématique :

           Dimension : [] = L².T^-1.

Unité : Dans le système international (SI), l'unité de viscosité n'a pas de nom particulier : (m²/s).

            Dans le système CGS (non légal), l'unité est le Stokes (St) : 1 m²/s = 10⁴ St

PERTES DE CHARGE

·         Un fluide réel, en mouvement, subit des pertes d'énergie dues aux frottements sur les parois de la canalisation (pertes de charge systématiques) ou sur les "accidents" de parcours (pertes de charge singulières).

Les différents régimes d'écoulement : nombre de Reynolds

Les expériences réalisées par Reynolds (1883) lors de l'écoulement d'un liquide dans une conduite cylindrique rectiligne dans laquelle arrive également un filet de liquide coloré, ont montré l'existence de deux régimes d'écoulement : laminaire et turbulent.

En utilisant des fluides divers (viscosité différente), en faisant varier le débit et le diamètre de la canalisation, Reynolds a montré que le paramètre qui permettait de déterminer si l'écoulement est laminaire ou turbulent est un nombre sans dimension appelé nombre de Reynolds et donné par :

                                    ou       

 avec :

 = masse volumique du fluide, v = vitesse moyenne, D = diamètre de la conduite

 = viscosité dynamique du fluide,   = viscosité cinématique 

L'expérience montre que :

Ces valeurs doivent être considérées comme des ordres de grandeur, le passage d'un type d'écoulement à un autre se faisant progressivement.

 

Théorème de Bernoulli appliqué à un fluide réel avec pertes de charge

Lors d'un écoulement d'un fluide réel il peut y avoir des pertes de charge entre les points (1) et (2) : dans le cas d’une installation ne comportant pas de machine hydraulique (pompe ou turbine) on écrira la relation de Bernoulli sous la forme :

·         Dp représente l’ensemble des pertes de charge entre (1) et (2)  exprimées en Pa.

Expression des pertes de charge

Pertes de charge systématiques

Généralités

Ce genre de perte est causé par le frottement intérieur qui se produit dans les liquides ; il se rencontre dans les tuyaux lisses aussi bien que dans les tuyaux rugueux.

Entre deux points séparés par une longueur L, dans un tuyau de diamètre D apparaît une perte de pression p. exprimée sous la forme suivante :

Différence de pression (Pa) :                                       

Perte de charge exprimée en mètres de colonne de fluide :

 est un coefficient sans dimension appelé coefficient de perte de charge linéaire.

Le calcul des pertes de charge repose entièrement sur la détermination de ce coefficient .

Cas de l'écoulement laminaire :    Re  < 2000

Dans ce cas on peut montrer que le coefficient  est uniquement fonction du nombre de Reynolds Re ; l'état de la surface n'intervient pas et donc  ne dépend pas de k (hauteur moyenne des aspérités du tuyau), ni de la nature de la tuyauterie.

                                                 avec             

Il est alors immédiat de voir que h est proportionnel à la vitesse v et donc au débit q, ainsi qu'à la viscosité cinématique .

 

Cas de l'écoulement turbulent :   Re  >  3000

On fait souvent appel à des formules empiriques plus simples valables pour des cas particuliers et dans un certain domaine du nombre de Reynolds, par exemple :

Formule de Blasius : (pour des tuyaux lisses et Re < 10⁵)

Pertes de charge accidentelles

Ainsi que les expériences le montrent, dans beaucoup de cas, les pertes de charge sont à peu près proportionnelles au carré de la vitesse et donc on a adopté la forme suivante d'expression :

Différence de pression (Pa) :                                                                                                  

                        Perte de charge exprimée en mètres de colonne de fluide :

K est appelé coefficient de perte de charge singulière (sans dimension).

La détermination de ce coefficient est principalement du domaine de l'expérience.

Théorème de Bernoulli généralisé

Lors d'un écoulement d'un fluide réel entre les points (1) et (2) il peut y avoir des échanges d'énergie entre ce fluide et le milieu extérieur :

·         par travail à travers une machine, pompe ou turbine ; la puissance échangée étant P

·         par pertes de charge dues aux frottements du fluide sur les parois ou les accidents de parcours ; la différence de pression étant Dp

Le théorème de Bernoulli s'écrit alors sous la forme générale :

avec :

·         SP     : somme des puissances échangées entre le fluide et le milieu extérieur, à travers une machine, entre (1) et (2) :

P >0 si le fluide reçoit de l'énergie de la machine (pompe),

P <0 si le fluide fournit de l'énergie à la machine (turbine),

P = 0 s'il n'y a pas de machine entre (1) et (2).

·         Dp     : somme des pertes de charge entre (1) et (2) :