1. Utilité : Elle permet de dimensionner les pièces (épaisseur, longueur…), en vérifiant les conditions de résistances en fonction des matériaux qui les composent et d’étudier les déformations (allongement, raccourcissement….), suivant la nature des sollicitations qu’elles auront à supporter.

2. Hypothèses :

Déformations :

CLes déformations sont élastiques, cela veut dire que si l’on supprime les sollicitations, la pièce reprend sa forme initiale.

 

CLes sections planes normales aux fibres avant déformation demeurent planes et normales aux fibres après déformation (hyp.de Navier & Bernoulli).

Continuité :

C La matière est supposée continue car son aspect moléculaire est trop "fin" pour l'étude qui nous intéresse.

Homogénéité :

COn supposera que tous les éléments de la matière, aussi petits soient ils, sont identiques.
(hypothèse non applicable pour le béton ou le bois)

Isotropie :

COn supposera qu'en tout point et dans toutes les directions, la matière a les mêmes propriétés mécaniques.
(hypothèse non applicable pour le bois ou les matériaux composites).

3. Définition de poutre :

on appelle poutre (voir fig.) un solide engendré par une surface plane (S) dont le centre de surface G décrit une courbe plane (C) appelée ligne moyenne.

Les caractéristiques de la poutre sont :

·       ligne moyenne droite ou à grand rayon de courbure.

·       section droite (S) constante ou variant progressivement.

·       grande longueur par rapport aux dimensions transversales.

·       existence d'un plan de symétrie.

3. Définition et repérage de la coupure fictive

Soient (E) le solide assimilé à une poutre et

() l’ensemble extérieur à (E).

est un repère lié à (E), même repère que pour l’étude de l’équilibre statique de (E).R0 est tel que l’axe soit confondu avec la ligne moyenne de la poutre.

Considérons un plan P perpendiculaire à  et soit S la section droite de (E) ainsi définie. Soit G, d’abscisse x, le centre de surface de (S). dans R0, le vecteur position  définit la position de la section droite fictive (S).

La coupure fictive partage la poutre (E) en deux tronçons (E1) et (E2). On convient de déplacer le plan de coupure (P) d’une extrémité à l’autre de la poutre et toujours dans le même sens. Il en résulte que le volume d’un des tronçons augmente et que celui de l’autre diminue. On appellera (E1) le tronçon dont le volume croît.

4. Définition du torseur de cohésion

Les actions mécaniques que le tronçon (E2) exerce (E1) à travers la section droite fictive (S) sont des efforts intérieurs à la poutre (E) que l’on modélisera par un torseur appelé torseur de cohésion et exprimer ses élément de réduction au point G, centre de surface de (S) :

5. Détermination des éléments de réduction en G du torseur des efforts de cohésion

a)    Equilibre de la poutre (E)

La poutre (E) étant en équilibre, le PFS permet d’écrire :  ce qui entraîne au point G :

(1)

En utilisant la notion de coupure fictive, en G, les actions mécaniques de () sur (E) peuvent être séparées en deux groupes :

Celles de () sur (E1) et () sur (E2) :

                                                                                                Donc,

 (2)

 

Les équations d’équilibre peuvent alors s’écrire :

b)    Relation entre le torseur des efforts extérieurs et le torseur des efforts de cohésion, sur un tronçon de poutre isolé

Isolons le tronçon (E1)3. Celui-ci est en équilibre sous l’action de deux torseurs d’actions mécaniques :

 

                               Le torseur des actions du milieu extérieur () sur (E) dont on peut donner les éléments de réduction en G :

                               Le torseur des actions mécaniques que le tronçon (E2) exerce sur (E1) à travers la section droite fictive (S) : 

Appliquons à (E1) le PFS :

Les équations d’équilibre du tronçon (E1) s’écrivent donc en G :

Compte tenu des équations (3) et (2) ci-dessus, les éléments de réduction en G du torseur des efforts de cohésion peuvent donc s’exprimer de deux façons :

On utilisera les écritures selon le problème posé.

c)     Repère de définition des sollicitations

Soit, le repère local direct lié à la section droite fictive (S).ce repère est tel que  définisse la normale extérieure en G à (S) relative au tronçon (E1). Les axes  et  appartiennent alors au plan (P) de la section droite (S) dont ils généralement des axes de symétrie.

 

 

d)    Dénomination des composantes des éléments de réduction du torseur de cohésion dans le repère de définition des sollicitations

Définitions :

·         Effort normal  : c’est la projection de sur la normale extérieure

·         Effort tranchant  : c’est la projection de  sur le plan de section droite

·         Moment de torsion  c’est la projection de sur la normale extérieure

·         Moment de flexion c’est la projection de  sur le plan de section droite

Par conséquent :   et  .

Soit en décomposant dans le repère local R :

                                 Soit :

6. Diagrammes

Les composantes algébriques N, Ty, Tz, Mt, Mfy, Mfz varient en fonction de la position du centre de surface G de la section droite fictive(S). le point G est défini par son abscisse x telle que :. La représentation graphique N(x) ; Ty(x) ; Tz(x) ; Mt(x) ; Mfy(x) ; Mfz(x) donne les diagrammes des composantes des éléments de réduction en G du torseur des efforts de cohésion.