Le Principe Fondamental de la Statique

La statique est une partie de la mécanique dont la finalité est l’étude de l’équilibre des systèmes matériels (solide ou ensemble de solides) au repos ou en mouvement uniforme par rapport à un repère supposé fixe (un repère Galiléen).

Enoncé du Principe Fondamental de la Statique

Définition

Un ensemble matériel {E} est en équilibre par rapport à un repère R si, au cours du temps, chaque point de {E} conserve une position fixe par rapport au repère R.

Enoncé du Principe Fondamental de la Statique

Nota : Le Principe Fondamental de la Statique est souvent noté « P.F.S. » par les initiés…

Exemples :

Isolons le solide S₂. Les actions mécaniques extérieures à S₂ qui agissent sur S₂ s’énumèrent de la façon suivante :

     • Poids de S₂,

     • Action, en C de S₀ sur S₂,

     • Action, en D de S₀ sur S₂,

     • Action, en B, de S₁ sur S₂…. et sont concernées par le PFS.

Si nous isolons les solides S₁+S₂. Les actions mécaniques extérieures à S₁+S₂ qui agissent sur S₁+S₂ s’énumèrent de la façon suivante :

 

• Poids de S₁,

• Poids de S₂,

• Action, en A de S₀ sur S₁,

• Action, en C de S₀ sur S₂,

     • Action, en D de S₀ sur S₂.

Le Principe Fondamental de la Statique appliqué aux problèmes 3D

Pour résoudre un problème de statique défini dans l’espace et ne possédant pas de plan de symétrie, deux solutions s’offrent à nous : - Résolution Informatique (Logiciels …)

Résolution Analytique      

Résolution analytique d’un problème de statique 3D :

D’après le PFS, si un système matériel {S} est en équilibre par rapport à un repère R, la somme des actions mécaniques extérieures à {S} qui agissent sur {S} est nulle.

         Mathématiquement, nous pouvons traduire ce PFS par la relations suivantes :

8La somme vectorielle (résultante ) de toutes les forces extérieures à S, agissant sur S est nulle :

Théorème de la Résultante :   

 

Soit  

Et soit dans un repère _:

        …….

On se raméne à 3 équations pour les forces.

                       

8La somme vectorielle des moments en A (moment résultant en A ) de toutes les actions mécaniques extérieures à S, agissant sur S, est nulle en un point A quelconque.

Théorème du moment résultant en A:

Soit  

Et soit dans un repère _:

       ……..  

  On se raméne à 3 équations pour les moments.

Le Principe Fondamental de la Statique appliqué aux problèmes 2D

Pour résoudre un problème de statique défini dans le plan ou admettant un plan de symétrie, plusieurs solutions s’offrent à nous :     - Résolution Informatique (Logiciels),

- Résolution Analytique

- Résolution Graphique.

Résolution analytique d’un problème de statique 2D

Une résolution analytique grâce à l’outil « Torseur » est bien entendu envisageable. Même si cette méthode demande de nombreuses écritures, et est parfois fastidieuse à appliquer, elle a  le mérite d’être systématique. Il suffit de suivre la méthode indiquée au paragraphe 2.2. Les torseurs sont « allégés» car, seules les composantes de résultantes appartenant au plan, et de moment perpendiculaire au plan apparaissent.

Une Solution plus efficace, consiste à utiliser la notion de moment par rapport à un axe perpendiculaire au plan d’étude.

Exemple : Equilibre d’un véhicule sur un sol horizontal.

1°) Graphe des interactions

        

2°) Isolement

         Isolons le véhicule repéré 1. Pour ce faire, traçons une frontière d’isolement sur le graphe des interactions. Les actions mécaniques extérieures à 1 qui agissent sur 1 sont :

• Le Poids de 1 • L’action en A du Sol sur 1 • L’action en B du Sol sur 1

3°) Enoncé du PFS

Si le véhicule repéré 1 est en équilibre par rapport au repère R, la somme des actions mécaniques extérieures à 1 qui agissent sur 1 est nulle. Par conséquent, à l’équilibre, nous pouvons écrire :

Équation de la résultante :

 

et

Équation du moment résultant par rapport à l’axe  :

4°) Résolution

L’équation (1) ne nous est pas d’une grande utilité… Il nous reste donc un système de deux équations à 2 inconnues (Y_A, Y_B). La résolution de ce système d’équations est donc envisageable.

 

où encore,  

soit finalement :     

Par conséquent les actions mécaniques en A et B s’écrivent :

  et        

 Résolution graphique d’un problème de statique 2D

Lorsque nous souhaitons un résultat rapide avec une précision limitée, il peut être intéressant d’utiliser une méthode graphique pour résoudre un problème de statique.

Solide soumis à l’action de deux forces

D’après le théorème des deux forces, un solide est en équilibre sous l’action de deux forces si ces deux forces sont égales en intensité et directement opposées (même direction et sens contraire).

Solide soumis à l’action de trois forces

 D'après le théorème des trois forces , un solide soumis à l'action de trois forces coplanaires (non parallèles) est en équilibre si les trois forces sont concourantes au même point et si la somme vectorielle de ces trois forces est nulle .

Application : Potence à tirant

Une potence 2 est supportée par un mur 1 et par un tirant 3. Sur cette potence, en B, se situe un palan dont le poids est connu. Les points A, C et D sont des articulations, modélisées par des pivots parfaits. L’ensemble est supposé en équilibre. On néglige les poids de la potence 2 et du tirant 3 par rapport aux autres efforts mis en jeu.

De toute évidence, ce problème admet comme plan de symétrie (pour la géométrie et pour les efforts) le plan  . Nous pouvons donc envisager d’utiliser une méthode graphique (entre autres) pour déterminer les efforts dans les différentes liaisons.

Rapidement, nous constatons que le tirant 3 est soumis à l’action de deux forces  , tandis que la potence 2 est sollicitée sous l’action de trois forces  .

Nous commencerons notre étude en isolant le tirant 3.

Isolement du tirant 3 :

En appliquant le théorème des deux forces, nous sommes capables de déterminer la direction des supports des forces . En effet, si le tirant 3 est en équilibre, et comme il est soumis à l’action de deux forces, ces deux forces ont obligatoirement la même droite d’action CD (1).

Cette découverte faîte, nous traçons et repérons ce support CD sur le document de la page suivante.

Pour le moment, nous ne pouvons rien dire de plus. Il nous faut donc isoler la potence 2.

Isolement de la potence 2 :

         Le poids de la potence 2 est intégralement connu (2).

         La force  ne nous est pas totalement inconnue. En effet, d’après le Principe des actions mutuelles . Nous en déduisons que le support de  est aussi la droite CD (3). Nous la traçons, en C, sur le document en page suivante concernant l’isolement de 2.

En utilisant la première partie du théorème des trois forces, nous pouvons déterminer le point de concourance I₂ des supports des trois forces. Pour ce faire, il suffit de prolonger les supports de  et de . Nous localisons ainsi le point I₂ (4).

Remarque : Si ces supports étaient parallèles, il n’y aurait pas de point de concourance, et nous ne pourrions pas appliquer cette méthode de résolution graphique.

         Nous en déduisons, toujours en appliquant la première partie du théorème des trois forces, que le support de  est la droite AI₂. Nous la traçons et la repérons sur le document adéquat (5).

         Il nous reste à exploiter la deuxième partie de théorème des 3 forces. Si 2 est en équilibre sous l’action de trois forces, alors, la somme vectorielle  est nulle. Pour traduire graphiquement cette relation, nous allons construire le triangle des forces (aussi appelé Dynamique).

• Nous commençons par tracer, à proximité de la pièce isolée, le vecteur force qui est intégralement connu.  Nous devons donc, définir une échelle des forces (6), puis tracer le vecteur (7).

• Nous traçons une parallèle au support de  passant par l’origine du vecteur (8).

• Nous traçons une parallèle au support de  passant par l’extrémité du vecteur (9).

• Il nous reste plus qu’à tracer, sur le triangle que nous venons de construire, deux vecteurs pour obtenir la somme vectorielle  nulle (10).

• Nous devons compléter les tableaux précédents en exploitant les informations « lues » sur le dynamique (11et 12).

• En général, nous reportons les forces que nous venons de déterminer sur chacune des pièces isolées (13).